Question

求证 (cosα/(1+sinα))-(sinα/(1+cosα))=2(cosα-sinα)/(1+sinα+cosα)

Answer 1

等式左边
cosα/(1+sinα)-sinα/(1+cosα)
(通分)
=[cosα(1+cosα)-sinα(1+sinα)]/[(1+sinα)(1+cosα)]
=[(cosα)^2-(sinα)^2+(cosα-sinα)]/[(1+sinα)(1+cosα)]
=(cosα+sinα+1)(cosα-sinα)/[(1+cosα)(1+sinα)]
此时比较等式两边，右边为
2(cosα-sinα)/(1+sinα+cosα)，因此只要证
2/(1+cosα+sinα)=(cosα+sinα+1)/[(1+cosα)(1+sinα)]，即只要证
(1+cosα+sinα)^2=2(1+cosα)(1+sinα).
注意到此时等式右边为
(1+cosα+sinα)^2
(展开)
=1+(cosα)^2+(sinα)^2+2cosα+2sinα+2sinαcosα
=2+2cosα+2sinα+2sinαcosα
=2(1+cosα)+2sinα(1+cosα)
=2(1+sinα)(1+cosα)
与等式左边相等。因此(1+cosα+sinα)^2=2(1+cosα)(1+sinα)成立，从而
cosα/（1+sinα）-
sinα/（1+cosα）=
2(cosα-sinα)/(1+sinα+cosα）成立。

Answer 2

等式左边
cosα/(1+sinα)-sinα/(1+cosα)
(通分)
=[cosα(1+cosα)-sinα(1+sinα)]/[(1+sinα)(1+cosα)]
=[(cosα)^2-(sinα)^2+(cosα-sinα)]/[(1+sinα)(1+cosα)]
=(cosα+sinα+1)(cosα-sinα)/[(1+cosα)(1+sinα)]
此时比较等式两边，右边为
2(cosα-sinα)/(1+sinα+cosα)，因此只要证
2/(1+cosα+sinα)=(cosα+sinα+1)/[(1+cosα)(1+sinα)]，即只要证
(1+cosα+sinα)^2=2(1+cosα)(1+sinα).
注意到此时等式左边为
(1+cosα+sinα)^2
(展开)
=1+(cosα)^2+(sinα)^2+2cosα+2sinα+2sinαcosα
=2+2cosα+2sinα+2sinαcosα
=2(1+cosα)+2sinα(1+cosα)
=2(1+sinα)(1+cosα)
与等式右边相等。因此(1+cosα+sinα)^2=2(1+cosα)(1+sinα)成立，从而
2(cosα-sinα)/(1+sinα+cosα）
=
cosα/（1+sinα）-
sinα/（1+cosα）
成立。