Question

一道数学第一类曲面积分题

Answer 1

面积=∫∫√[1+(z'x)²+(z'y)²
dxdy
其中z'x
=
-x/z，z'y
=
-y/z
√[1+(z'x)²+(z'y)²
=
|a/z|
现在分析被积区域的取值范围
先考虑z>0部分，余下的z<0部分由对称性可知和z>0部分面积一样
交线在平面z=0的投影是x²+y²=ax，写成极坐标就是r
=
acost
其中r的取值范围是(0,a)，t的取值范围是(-π/2，π/2)
而z
=√(a²-x²-y²)
=
√(a²-r²)
面积(z>0)
=
∫∫(a/z)dxdy
=
∫(-π/2，π/2)dt∫(0,acost)[a/√(a²-r²)]rdr
=
∫(-π/2，π/2)dt
*
a²(1-|sint|)
=
a²(t+cost)|(0,π/2)
+
a²(t-cost)|(-π/2,0)
=
a²(π-2)
所以总面积为(2π-4)a²