Question

[请教] 分段函数求导的问题

教材上貌似没有专门讲分段函数求导的问题，做题的时候有点晕全书（数三）p52-55，分段函数求导专题里，有好几道题都是在证明了分界点是连续点之后，就直接用求导法则求导了。可是连续不是不一定可导吗，为什么可以直接求导而不是用定义来求呢？再问一个可能火星了的问题：很多题的解释里面都有一句“函数的可导性显然”之类的话，这个“显然”是怎么显然的啊，初等函数在定义区间内连续，是不是大部分初等函数再定义区间内也可导啊？[]

Answer 1

2011年的《660》选择题第55题就是关于分段点导数问题和导数连续性问题，当时没做明白，于是我查了些书，现在总结一下希望大家看看对不对。
辅导书上都是求各分段上的显然可导的初等函数的导数，(
设分段点为x0
)
然后求x趋近x0时候导函数的极限值，得到俩个极限值，书上说这俩个值就是x0的左右导数，如果相等，则函数在x0处可导（进而说明导函数在x0处连续）！
首先，要明确：
1。x趋于x0时导函数的极限存在，不能说明x0处可导
2。有个用Lagrange定理可以证明的结论，也就是辅导书上解法的理论，就是：当f(x)在x0的领域内连续，在x0的去心邻域内可导，则x趋近x0时候导函数的极限值
等于
x0点的导数值。要注意的是：这个条件只是个充分条件，不能说：若x趋近x0时候导函数的极限不存在时候，则x0不可导。一般情况下，用辅导书上的都满足上述定理的条件，所以可以用此方法而且非常方便！
但是：遇到比较“较真儿，变态”的题时候，题设的条件不能求出x趋近x0时候导函数的极限时（比如题设条件：不满足在x0的领域内连续，在x0的去心邻域内可导，或者不能使用罗比达法则，因而极限无法顺利切出来），千万不能说此点不可导！
所以还是用定义求吧，正如战地老师说的：老老实实少犯错。。。
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