如图,∠ACD是△ABC的外角,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1
,∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2,…,∠An-1BC的平分线与∠An-1CD的平分线交于点An.设∠A=θ:则(1)∠A1=——(2)∠An的度数有什么...
,∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2,…,∠An-1BC的平分线与∠An-1CD的平分线交于点An.设∠A=θ :则(1)∠A1=—— (2)∠An的度数有什么规律?写出规律,并说明理由
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解:(1)∵A1B是∠ABC的平分线,A2B是∠A1BC的平分线,
∴∠A1BC=
1
2
∠ABC,∠A1CD=
1
2
∠ACD,
又∵∠ACD=∠A+∠ABC,∠A1CD=∠A1BC+∠A1,
∴
1
2
(∠A+∠ABC)=
1
2
∠ABC+∠A1,
∴∠A1=
1
2
∠A,
∵∠A=θ,
∴∠A1=
θ
2
;
(2)同理可得∠A2=
1
2
∠A1,=
1
2
•
1
2
θ=
θ
22
,
所以∠An=
θ
2n
.
故答案为:(1)
θ
2
,(2)
θ
2n
.
(1)根据角平分线的定义可得∠A1BC=
1
2
∠ABC,∠A1CD=
1
2
∠ACD,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC,∠A1CD=∠A1BC+∠A1,整理即可得解;
(2)与(1)同理求出∠A2,可以发现后一个角等于前一个角的
1
2
,根据此规律即可得解.
∴∠A1BC=
1
2
∠ABC,∠A1CD=
1
2
∠ACD,
又∵∠ACD=∠A+∠ABC,∠A1CD=∠A1BC+∠A1,
∴
1
2
(∠A+∠ABC)=
1
2
∠ABC+∠A1,
∴∠A1=
1
2
∠A,
∵∠A=θ,
∴∠A1=
θ
2
;
(2)同理可得∠A2=
1
2
∠A1,=
1
2
•
1
2
θ=
θ
22
,
所以∠An=
θ
2n
.
故答案为:(1)
θ
2
,(2)
θ
2n
.
(1)根据角平分线的定义可得∠A1BC=
1
2
∠ABC,∠A1CD=
1
2
∠ACD,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC,∠A1CD=∠A1BC+∠A1,整理即可得解;
(2)与(1)同理求出∠A2,可以发现后一个角等于前一个角的
1
2
,根据此规律即可得解.
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分两步进行。
①先求∠BAC:
∠PCD=∠PBC+∠BPC,
即1/2∠ACD=40°+1/2∠ABC,
∴∠ACD=∠ABC+80°,
又∠ACD=∠ABC+∠BAC,
∴∠BAC=80°;
②证P在∠BAC的外角平分线上:
过P分别作PM⊥BC于M,PN⊥AC于N,PQ⊥BA的延长线于Q,
由角平分线性质定理得:PM=PN,PM=PQ,
∴PN=PQ,
∴P在∠QAC的角平分线上,
∴∠CAP=1/2(180°-∠BAC)=50°。
①先求∠BAC:
∠PCD=∠PBC+∠BPC,
即1/2∠ACD=40°+1/2∠ABC,
∴∠ACD=∠ABC+80°,
又∠ACD=∠ABC+∠BAC,
∴∠BAC=80°;
②证P在∠BAC的外角平分线上:
过P分别作PM⊥BC于M,PN⊥AC于N,PQ⊥BA的延长线于Q,
由角平分线性质定理得:PM=PN,PM=PQ,
∴PN=PQ,
∴P在∠QAC的角平分线上,
∴∠CAP=1/2(180°-∠BAC)=50°。
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∠A1=1/2 ∠A;
∠An=1/2n∠A。
∠An=1/2n∠A。
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2013-09-10
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∠ACD-∠ABC=∠A=θ
∠A1=∠A1CD-∠A1BC=1/2∠ACD-1/2∠ABC=1/2θ
∠A2=1/2*1/2θ=1/4θ
∠An=(1/2)^nθ
∠A1=∠A1CD-∠A1BC=1/2∠ACD-1/2∠ABC=1/2θ
∠A2=1/2*1/2θ=1/4θ
∠An=(1/2)^nθ
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