Question

利用极坐标计算下列二重积分，求哪位大神解答，感谢

Answer 1

（1）设r²=x²+y²，D是以原点为圆心，半径=2的圆内部，dσ取r~r+dr之间的圆环，
dσ=2πrdr
原积分=
∫（0，2）e^(-r²）.2πrdr
=-π∫（0，2）e^(-r²）.d(-r²）
=-πe^(-r²）|（0，2）
=-π[e^(-4）-1]
=π(1-1/e^4)
(2)同理，但是，只要求圆的上半部分：
设r²=x²+y²，D是以原点为圆心，半径=1的圆内部，x轴以上部分，dσ取r~r+dr之间的半圆环，
dσ=πrdr
原积分=
∫（0，1）√[(1-r²）/（1+r²）]πrdr
=（π/2）∫（0，1）√[(1-r²）/（1+r²）]d（r²）
设t=r²
=（π/2）∫（0，1）√[(1-t）/（1+t）]dt
设t=cos2θ，2θ=π/2~0，θ=π/4~0，dt=-2sin2θdθ
=（π/2）∫（π/4，0）√[(1-cos2θ）/（1+cos2θ）]（-2sin2θ）dθ
=（π/2）∫（π/4，0）√[2sin²θ/2cos²θ]（-2sin2θ）dθ
=（π/2）∫（0，π/4）tanθ（2sin2θ）dθ
=π∫（0，π/4）tanθ2sinθcosθ）dθ
=2π∫（0，π/4）sin²θdθ
=π∫（0，π/4）（1-cos2θ）dθ
=π[θ-sin2θ/2]|（0，π/4）
=π[π/4-sin（π/2）/2]
=π²/4-π/2

Answer 2

Answer 3

极坐标计算下列二级冲分啊，求解

Answer 4

利用极坐标计算下列二重积分，求哪位大神解答，感谢
属地健康