Question

设函数f(x)=(ax∧2-2x)e∧x

Answer 1

已知函数f(x)=(-ax^2-2x+a)×e^x,(a∈R)(1)a=-2时，求函数f(x)单调区间;(2)若f(x)在[-1,1]上单调递减，求实数a取值范围。
(1)a=-2时,f(x)=(2x^2-2x-2)×e^x=2(x^2-x-1)×e^x.
对x求导，f‘(x)=2(x^2-x-1)×e^x+2（2x-1）xe^x
=2(x+2)(x-1)xe^x
令f'(x)>=0得到：x>=1或x<=-2;此为单调增区间；
令f'(x)<=0得到：-2<x<1;此为单调减区间。
（2）直接对x求导得：f'(x)=(-ax^2-2x+a)×e^x+(-2ax-2)xe^x
=[-ax^2-(2+2a)x+a-2]xe^x
由于f(x)在[-1,1]上单调递减，于是有f'(x)<0；
代入得：[-ax^2-(2+2a)x+a-2]xe^x<0在[-1,1]上恒成立。
构造g(x)=-ax^2-(2+2a)x+a-2,上式转化为g(x)<=0对x在[-1,1]上恒成立。
于是分几种情况讨论：
(i)当a=0时，g(x)=-2x-2,在[-1,1]上递减。最大值为g(-1)=0;
满足题意；
(ii)当a不等于0时，二次函数g(x)的对称轴为-(a+1)/a;
要使得g(x)<=0对x在[-1,1]上恒成立，只要让端点处的函数值以及对称轴的函数值均小于0即可。
于是得到三个不等式，解之便得到a的具体取值范围。
我的计算答案为-2<=a<0;