Question

不定积分题（有难度）

令函数群cn=∫dx/(x^2土a^2)^n

则当n>1时，求cn与cn-1的递推公式
用含x a cn-1的代数式表示cn(PS:只能使用四则运算)

Answer 1

令x=a*tan(y)
则cn=a^(1-2*n)*∫dy[cos(y)^(2*n-2)]
=a^(1-2*n)*∫dy[cos(y)^(2*n-4)(1-siny^2)]
=a^(1-2*n)*∫dy[cos(y)^(2*n-4)]-a^(1-2*n)*∫dy[cos(y)^(2*n-4)*siny^2]
=a^(-2)*(cn-1)+[a^(1-2*n)]/(2*n-3)*∫sinyd(cosy)^(2*n-3)
=a^(-2)*(cn-1)+{[a^(1-2*n)]/(2*n-3)}*[siny*(cosy)^(2*n-3)-∫dy[(cosy)^(2*n-2)]
整理得
cn=[(2*n-3)/(2*n-2)]*a^(-2))*(cn-1)+[a^(1-2*n)/(2*n-2)]* siny*(cosy)^(2*n-3)
再把x=a*tan(y)代入即得结果

Answer 2

这个题目有点逼人哈