Question

如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠

如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An-1BC的平分线与∠An-1CD的平分线交于点An．设∠A=θ.
求证:(1)∠A1=θ./2
(2)∠An=θ./2^n

Answer 1

如下：

△ABC中，∵∠A=∠ACD-∠ABC，A1是∠ABC角平分与∠ACD的平分线的交点，∠A=α。

∴∠A1=∠A1CD-∠A1BC=1/2 ×(∠ACD-∠ABC)=1/2×∠A。

同理可得，∠A2=1/2×∠A1=1/2²×∠A。

∠A3=1/2×∠A2=1/2³×∠A。

以此类推，∠An=1/2^n×∠A，即∠An=α/2^n。

故答案为：α/2^n。

介绍

三角形(triangle)是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。

常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。

Answer 2

解：

△ABC中，∵∠A=∠ACD-∠ABC，A1是∠ABC角平分与∠ACD的平分线的交点，∠A=α，
∴∠A1=∠A1CD-∠A1BC=1/2 ×(∠ACD-∠ABC)=1/2×∠A；

同理可得，∠A2=1/2×∠A1=1/2²×∠A，

∠A3=1/2×∠A2=1/2³×∠A，

…
依此类推，∠An=1/2^n×∠A，即∠An=α/2^n．

故答案为：α/2^n．

(本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键)

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