Question

利用逐项微分或积分求∑_(2n-1)x^n（从0到正无穷）的和函数 急

Answer 1

说明：此题只能在│x│<1的条件下才能使用逐项微分或积分求解.不知是否有此条件。若有，解法如下。
解：∵∑(2n-1)x^n=∑(2n+2-3)x^n
=2∑(n+1)x^n-3∑x^n
又∑x^n=1+x+x+........+x^n+.......
=1/(1-x)
又∑(n+1)x^n=1+2x+3x²+........+(n+1)x^n+........
==>∫∑(n+1)x^ndx=C+x+x²+x³+........+x^n+........
(C是积分常数)
(两端同时积分)
=C+x/(1-x)
==>∑(n+1)x^ndx=1/(1-x)²
(两端同时求导)
∴∑(2n-1)x^n=2/(1-x)²-3/(1-x)
=(3x-1)/(1-x)².

Answer 2

说明：此题只能在│x│<1的条件下才能使用逐项微分或积分求解.不知是否有此条件。若有，解法如下。
解：∵∑(2n-1)x^n=∑(2n+2-3)x^n
=2∑(n+1)x^n-3∑x^n
又∑x^n=1+x+x+........+x^n+.......
=1/(1-x)
又∑(n+1)x^n=1+2x+3x²+........+(n+1)x^n+........
==>∫∑(n+1)x^ndx=C+x+x²+x³+........+x^n+........
(C是积分常数)
(两端同时积分)
=C+x/(1-x)
==>∑(n+1)x^ndx=1/(1-x)²
(两端同时
求导
)
∴∑(2n-1)x^n=2/(1-x)²-3/(1-x)
=(3x-1)/(1-x)².