Question

一道数学题，求老师回答，好的再加50

四边形ABC′D′是平行四边形吗？证明
设BC=1，在上述平移过程中，当点B的移动距离为多少时，四边形ABC′D′是菱形？当点B的移动距离是多少时，四边形ABC′D′是矩形？
题干：
将两个全等的有一个角是30°的直角三角形按图1的方式摆放在一起，然后将RT△BCD沿射线BD方向平移到RT△BD′C′的位置（图2）
问题：
1.四边形ABC′D′是平行四边形吗？证明结论。
2.设BC=1，在上述平移过程中，当点B的移动距离为多少时，四边形ABC′D′是菱形？当点B的移动距离是多少时，四边形ABC′D′是矩形？

Answer 1

1. 四边形ABC1D1中，AB=C1D1（分别是两个全等直角三角形的斜边），且AB平行于C1D1（与BD1的夹角都是30度），所以它是平行四边形。

2. BC=1 则AD=1，AB=C1D1=2，BD=B1D1=√3

   当B移动距离为√3时（B1与D重合），AB=B1C=AD1=C1D1，ABC1D1为菱形。

   当B移动距离为1/√3时，∠C1BB1=60°，∠ABC1=90°，,ABC1D1为矩形。

Answer 2

解：（1）四边形ABCD是平行四边形；
理由：由于△ABD、△BCD是全等三角形，故∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，即AB∥CD、BC∥AD；
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以四边形ABCD是平行四边形．

（2）四边形ABC1D1是平行四边形；
证明：由题意知：B1C1=AD，BB1=DD1，∠BB1C1=∠ADD1=90°，
∴△ADD1≌△C1B1B，
∴∠AD1B=∠C1BD，即BC1∥AD1；
易知：∠ABD=∠C1D1B，即AB∥C1D1，
∴四边形ABC1D1是平行四边形．
（1）由于图中摆放的两个三角形是全等三角形，那么∠ABD=∠CDB、∠ADB=∠CBD，由此得四边形ABCD的两组对边分别平行，由此可判定四边形ABCD是平行四边形．
（2）可按照（1）的思路进行求解；那么就需要证出BC1∥AD1，即∠AD1B=∠C1BD1，观察图形，证△BB1C1≌△D1DA即可．

追问

第二问的移动距离是多少？

追答

若平行四边形ABC1D1为菱形，则AB=BC1，
又∵B1C1=AD，∠BB1C1=∠ADB=90°，
∴△BC1B1≌△BAD，得BB1=BD，即B1、D重合；
易知BD=根号3
，所以若四边形ABC1D1为菱形，点B需要移动根号3
个单位长度；
理由是：一组邻边相等的平行四边形是菱形．

Answer 3

这很简单，自己平时要多看看基础知识点。别老是依赖别人的答案哦。