Question

高二数学数列问题

1.项数为偶数2n的AP{a n}有S偶-S奇=nd S奇/S偶=an/an+1
2.项数为偶数2n-1的AP{a n}有S奇-S偶=an S奇/S偶=n/n-1

Answer 1

1.
设公差为d
S偶-S奇
=[a2+a4+...+a(2n)]-[a1+a3+...+a(2n-1)]
=(a1+d+a3+d+...+a(2n-1)+d]-[a1+a3+...+a(2n-1)]
=[a1+a3+...+a(2n-1)+nd]-[a1+a3+...+a(2n-1)]
=nd
a[2(n+1)-1]-a(2n-1)=a1+[2(n+1)-1]d-a1-[(2n-1)-1]d=2d
a[2(n+1)]-a(2n)=a1+[2(n+1)-1]d-a1-(2n-1)d=2d
数列奇数项是以a1为首项，2d为公差的等差数列；偶数项是以a2为首项，2d为公差的等差数列
S奇/S偶=[a1+a3+...+a(2n-1)]/[a2+a4+...+a(2n)]
=[na1+(1+2+...+(n-1))(2d)]/[na2+(1+2+...+(n-1))(2d)]
=[na1+n(n-1)d]/[na2+n(n-1)d] *
=[a1+(n-1)d]/[a2+(n-1)d]
=[a1+(n-1)d]/(a1+nd)
=an/a(n+1)
2.

S奇-S偶
=[a1+a3+...+a(2n-1)]-[a2+a4+...+a(2n-2)]
=[a1+a2+d+a4+d+...+a(2n-2)+d]-[a2+a4+...+a(2n-2)]
=[a1+a2+a4+...+a(2n-2)+(n-1)d]-[a2+a4+...+a(2n-2)]
=a1+(n-1)d
=an
由1得：数列奇数项是以a1为首项，2d为公差的等差数列；偶数项是以a2为首项，2d为公差的等差数列。
奇数项共n项，偶数项共n-1项。
S奇/S偶
=[na1+n(n-1)d]/[(n-1)a2+(n-1)(n-2)d] /用了1过程中后面带*号的那一步

=n[a1+(n-1)d]/[(n-1)(a2+(n-2)d)]
=nan/[(n-1)an]
=n/(n-1)