Question

如何严格证明只有空集和R^n既是开集又是闭集？其他都不可能。

Answer 1

首先要明确的是你所说的开集和闭集都是对欧式拓扑而言的。
这个可以用反证法证明，假设存在R^n中的子集A既是闭集又是开集，那么根据开集定义，对于任意点a属于A，都是A中的内点，即总是存在一个足够小的a的开邻域B（r，a）使得B包含于A；
如果r的取值是任意的，显然A=R^n。否则总是存在足够大的r使得B-A为非空，即B不包含于A。
那么满足B包含于A的r的值必有上确界R。
当d（a，b）=R时，
若b属于A，由于A是开集，因此b是A中的内点。
若b不属于A,由于A是闭集，那么A补是开集，b是A补中的内点。
设C={b:d（a，b）=R,b属于A}；D={b:d（a，b）=R,b不属于A}；显然C并D={b:d（a，b）=R}
显然d（C，D）=0，那么存在一个点对列（cn,dn）,使得当n趋于无穷时，d（cn,dn）=0
由于cn是有界点列，因此比有收敛子列，不妨设cn收敛到c，
同理dn也是有界点列，因此在cn收敛的情况下，dn也有收敛子列，因此不妨设cn收敛于c，同时dn收敛于d。由于d（cn,dn）=0当n趋于无穷时，因此c=d；
若c属于C，那么c属于A，由于不属于A是的点列dn收敛于c，（注意D是A补的子集），因此c不是A中的内点，与A是开集矛盾；
同理当c属于D时，于A补是开集矛盾。
因此假设命题不成立，不存在既是开集有是闭集的集合；

PS：我不知道你的水平，如果你是数学系研究生的话，这个就好办了。由于R^n是连通空间，因此不存在连通分支，因此任何子集都不可能既是开集又是闭集。