Question

已知函数f(x)=ax^2 bx c,当x∈(-1,2)时f(x)>0,当x∈(-∞,-1)∪(2, ∞)时f(x)<0,求不等式cx^2+bx+a>0

解集，求过程~~

Answer 1

f(x)=ax^2+bx+c,
当x∈(-1,2)时f(x)>0,
当x∈(-∞,-1)∪(2, ∞)时f(x)<0,
那么x1=-1,x2=2是方程ax^2+bx+c=0的两个根
且a<0
根据韦达定理：
-b/a=x1+x2=1,c/a=x1x2=-2
∴c>0
∴a/c=-1/2,b/c=1/2
不等式cx^2+bx+a>0
即x^2+b/c*x+a/c>0
即x^2+1/2x-1/2>0
解得：
x<-1或x>1/2
即不等式解集为{x|x<-1或x>1/2}

Answer 2

“f(x)=ax^2 bx c”之间有运算符号吗
理解为：f(x)=ax ² ＋bx ＋c
解：∵f(x)在x∈(-1,2)，f(x)>0，x∈(-∞,-1)∪(2, ∞)，f﹙x﹚<0
∴a＜0且ax ² ＋bx ＋c＝0的两根为﹣1和2 （二次函数的图像可知）
∴由根与系数的关系得﹙﹣1﹚＋2＝﹣b／a，﹙﹣1﹚·2＝c／a
∴b＝﹣a，c＝﹣2a
∴不等式cx ²+bx+a>0变为：﹣2ax ²－ax＋a＞0即2x ²＋x－1＞0
∵2x ²＋x－1＝0的两根为：x＝﹣1或x＝1／2
∴不等式的解集为：﹛x|x＜﹣1或x＞1／2﹜

Answer 3

令f(x)=0，则x1=-1，x2=2
x1x2=-2=c/a……①
x1+x2=1=-b/a……②

解①②③得：c=-2a；b=-a
令x=0，f(x)=c＞0，于是a＜0，-a＞0，b＞0
cx^2+bx+a=-2ax^2-ax+a=-2a(x^2+1/2x-1/2)
=-2a((x+1/4)^2-9/16)
∵-2a＞0
∴(x+1/4)-9/16＞0
∴x＞1/2或x＜-1