Question

请教一道初三数学大证明题（旋转）快~~

如图所示，已知点P为正方形ABCD的对角线AC上一点（不与A、C重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F。 （1）求证：BP=DP； （2）如图2所示，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明； （3）试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连接，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论。

Answer 1

如图所示，已知点P为正方形ABCD的对角线AC上一点（不与A、C重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F。
（1）求证：BP=DP；
证明：
因为四边形ABCD为正方形，AC为对角线
所以，∠PAD=∠PAB=45°
所以，在△PAD和△PAB中：
AD=AB（已知）
∠PAD=∠PAB=45°（已证）
PA边公共
所以，△PAD≌△PAB（SAS）
所以，PB=PD
（2）如图2所示，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；
在旋转的过程中，并不是总有BP=DP
假设，当点P逆时针旋转到位于BC线段上时（请自己作草图）
很明显：
因为点P在线段BC上，所以：BP＜BC
而此时DP是Rt△DCP的斜边，所以：DP＞DC
所以，DP＞DC=BC＞BP
（3）试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连接，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论。
因为四边形ABCD为正方形，AC为其对角线
则，AC为∠BCD的平分线
且，PE⊥BC，PF⊥CD
根据角平分线上的点到两边的距离相等，就有：PE=PF
所以，四边形PECF也是正方形
如图
连接BE、DF，则无论四边形PECF怎么旋转，始终有BE=DF
这是因为：
由上面的证明知，四边形PECF为正方形，所以：
∠DCF+∠FCB=∠DCB=90°
∠BCE+∠FCB=∠FCE=90°
所以，∠DCF=∠BCE
所以，在△DCF和△BCE中：
DC=BC（已知）
∠DCF=∠BCE（已证）
CF=CE（已证）
所以，△DCF≌△BCE（SAS）
（即，无论如何旋转，上述两个三角形始终是全等的）
所以，DF=BE