Question

第3题求解过程谢谢！

Answer 1

选择B

设光线与AB的交点为C，与OB的交点为D，连接CP，DP，延长CD、BO交于点P',过A作OA的垂线交DC延长线于P''，过D作BO的垂线交AB于Q，过C作AB的垂线交AO于N，连接PP''
根据光线的反射原理可知DQ为∠CDP的平分线，故有∠QDC=∠QDP，而因为QD⊥OB，且坐标系中必有AO⊥BO，所以DQ‖OA,根据平行线的性质有∠QDC=∠CP'A,∠QDP=∠DPO,所以有∠CP'A=∠DPO，而在△DOP'与△DOP中，显然有∠DOP'=∠DOP=90度，而OD为公共边，所以有△DOP'≌△DOP，P'D=DP,P'O=PO=2
同理，由光的反射原理有NC平分∠DCP，∠NCD=∠NCP的结论，而根据A(4,0),B(0,4)可算出AB斜率为-1，从而由图中得出∠BAO=45度，而P''A⊥OA，∠P''AO=90度，于是有∠P''AB=45度，所以∠BAO=∠P''AC,由所作辅助线知NC⊥AB,所以有∠NCP+∠PCA=90度，于是∠DCN+∠P''CA=180度-90度=90度，所以∠PCA=∠P''CA,于是在△ACP和△ACP''中，有两对角相等，且有一对公共边，两个三角形全等，所以有P''A=PA=(OA-OP)=4-2=2,P''C=PC
光线所经过的路程等于PC+CD+DP=P''C+CD+DP'=P'P'',在Rt△P'AP''中，P''A已求为2，P'A=P'0+OA=2+4=6,所以用勾股定理可得P'P''=√(2^+6^)=2√10

Answer 2

【答案】选B
【解析】
AB的方程为：x+y=4
P关于AB的对称点为：Q(4 , 2)

（求对称点这里我有一个秘诀，那就是代入：当k=±1时，代入y即可求得对称点的横坐标，代入x即可求得对称点的纵坐标，比较方便）

P关于OB的对称点为：R(-2 , 0)
根据题意，Q、M、N、R四点共线，
所以光线走过的路程等于线段QR的长
|QR|=根号40=2*根号10

觉得满意就敬请采纳我的解答。
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追问

能在帮我解答多一个问题吗？

第4题求解过程谢谢！

追答

【答案】选D
【解析】
根据三角形两边之差小于第三边，可知|PA|-|PB|或|PB|-|PA|的最大值是
|AB|=根号26
AB的方程为：y=-5x+19，与直线2x-y-4=0的交点为……，即为P点

追问

AB是最大值的原因能说得详细一点吗？谢谢！

追答

本题可能开始我想得简单了一点，犯了一点错误
【答案】选B
【解析】若PAB能够组成三角形，则|PA|-|PB|或|PB|-|PA|一定小于|AB|=根号26

只有一种极端的“三角形”，那就是P在AB延长线或反向延长线上时，|PA|-|PB|或|PB|-|PA|等于|AB|
AB的方程为：y=-5x+19，与直线2x-y-4=0的交点为（23/7，18/7）由于这个交点在AB之间，所以这种思路行不通。

下面换一种思路：A关于直线2x-y-4=0的对称点为A'（0，1），|PA|=|PA'|

A'B的方程为：y=x+1，与直线2x-y-4=0的交点为（5，6）由于这个交点在A'，B之外，所以可行

最大值为|A'B|=3*根号2