Question

线性代数 Ax=b Cx=b

如果线性代数方程 Ax=b 和 Cx=b 对于每一个向量b都有相同的解，请问矩阵A = C 吗？
请给出证明过程

Answer 1

由于向量b可以是任意的，所以我们可以任意取x向量（则b=Ax=Cx）然后由于Ax=b，Cx=b，两式相减，得（A-C）x=0，请注意，对于任意x向量都成立。

假设A-C不为0矩阵，则A-C矩阵存在某个aij不=0，那么我们取x向量只有第j个位置为一，其余都为0，算一下（A-C）x不为0，矛盾！所以A-C为0矩阵，从而A=C。

简介

线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。

向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。

Answer 2

由于向量b可以是任意的，所以我们可以任意取x向量（则b=Ax=Cx）然后由于Ax=b，Cx=b，两式相减，得（A-C）x=0，请注意，对于任意x向量都成立。假设A-C不为0矩阵，则A-C矩阵存在某个aij不=0，那么我们取x向量只有第j个位置为一，其余都为0，算一下（A-C）x不为0，矛盾！所以A-C为0矩阵，从而A=C

Answer 3

不一定。如果A=BCB^-1。对于每一个向量b也是有相同解的。

Answer 4

A=
|3 2|
|1 1|
C=
|3 1|
|2 1|

两者可以互相转换
矩阵A = C

Answer 5

我认为这个结论与x的关系更大，而不是b。