Question

讨论函数f(x)=(x^α)sin(1/x),x>0；(e^x)+β,x<=0.在x=0处的连续性。过程详细点

Answer 1

鉴于不想输入一大堆公式，就简单说明：连续性无非讨论左右极限，如x>0，f(x)=(x^a)sin(1/x),sin函数为有界函数，因此，当x从右边大于0处无限趋近于0时，只要alpha>0，即右极限为0，反之，则不存在极限，因为sin(1/x)为震荡函数。接下来是左极限，这个就简单了，显然，左极限和在0处的函数值都是(b)beta+1，只需要讨论它与0的关系即可。 因此最后结果为：alpha<=0，不连续；alpha>0,且beta=-1，连续；alpha>0,且beta不等于-1，不连续

Answer 2

当x→0+时，f（x）的极限为无穷小量（x^α）与有界变量sin（1/x）的乘积等于0.
当x→0-时，f（x）的极限为
f（0）=1+β，
当β=-1时，函数f（x）在x=0处连续；
当β≠-1时，函数f（x）在x=0处断裂.