Question

证明极限不存在

f(x)={0 x是rational（有理数）
{1 x是irrational 无理数
证明LIM X-0不存在
用δ(Δx)和ε（Δy）

不知道中国有没有学过，我在美国学calculus第一章极限里的一题 应该用的不是复杂的公式或者定理
就是用 |x-a|<δ 就必有 |y-L|<ε 这样的形式去证明 上课问老师老师也没想多来

Answer 1

lim(x→0)极限不存在
证明：任取实数a≠1, 取εo=|1-a|/2>0 ,对任意δ，在|x|<δ内任取无理数xo,那么：

|f(xo)-a|=|1-a|>|1-a|/2=εo,故实数a≠1不是极限
若a=1,
取εo=1/2>0 ,对任意δ，在|x|<δ内任取有理数xo,那么：

|f(xo)-1|=1>1/2=εo,故实数1不是极限
所以：lim(x→0)极限不存在