Question

讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,并求通过(0,0 )的一切

常微分方程
讨论方程dy/dx=(3/2)y^(1/3) 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,并求通过点0,0的一切解.最好有过程.

Answer 1

方程在R×(0,+∞)和R×(-∞,0)的子域上都是满足唯一性条件的,因为这些区域都不包含y=0的点,而在这些区域上,f(y)=(3/2)y^(1/3),df/dy存在且连续,所以在这些区域内的每一点都是满足局部李氏条件.所以在这两个区域中的一个内,满足初值条件（τ,ξ）的两个解,一定在它们共同的存在区间上相等,它们都存在与这个区间上,所以他们也一定相等.显然满足初值条件的解是：y^(2/3)-ξ^(2/3)=x-τ,它最大存在区间就是(τ-ξ^(2/3),+∞)（ξ＞0时）因为这个解已经到达了区域的边界,已经是饱和了,所以在任何子区域内,解都只是它的一部分,又因为在共同存在区间上与它相同,所以在这个区间上解是唯一的.ξ＜0时也一样,只不过最大存在区间变成了(-∞,τ-ξ^(2/3)).
过(0,0)的解有：
①y=x^(3/2)
②c≤0
y^(2/3)=x+c,当x≥-c时
y=0,当x＜-c时
③c≥0
y^(2/3)=x+c,当x≤-c时
y=0,当x＞-c时