Question

已知函数f（x）=（log2x-2）（log4x-12），2≤x≤4（1）求该函...

已知函数f（x）=（log2x-2）（log4x-12），2≤x≤4 （1）求该函数的值域； （2）若f（x）≤mlog2x对于x∈[2，4]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）f（x）=（log2x-2）（log4x-12）
=12(log2x)2-32log2x+1，2≤x≤4
令t=log2x，则y=12t2-32t+1=12(t-32)2-18，
∵2≤x≤4，∴1≤t≤2．
当t=32时，ymin=-18，当t=1，或t=2时，ymax=0．
∴函数的值域是[-18，0]．
（2）令t=log2x，得12t2-32t+1≤mt对于1≤t≤2恒成立．
∴m≥12t+1t-32对于t∈[1，2]恒成立，
设g（t）=12t+1t-32，t∈[1，2]，
∴g（t）=12t+1t-32=12(t+2t)-32，
∵g（1）=0，g（2）=0，
∴g（t）max=0，∴m≥0．
故m的取值范围是[0，+∞）．