Question

(sin² (π/n)+ sin² (2π/n)+……+sin² (nπ/n))=n/2 求证明

Answer 1

用欧拉公式就很简单...
[sin(kπ/n)]^2=[1-cos(2kπ/n)]/2
cos(2kπ/n)=Re[e^(i2kπ/n)]
所以原式=∑[sin(kπ/n)]^2=∑[1-cos(2kπ/n)]/2=(1/2)[n-∑cos(2kπ/n)]
=(1/2)[n-Re∑e^(i2kπ/n)]
=n/2
因为∑e^(i2kπ/n)是一个公比为e^(i2π/n),
首项为e^(i2π/n)的等比数列，且e^(i2π)=cos2π+isin2π=1
所以
∑e^(i2kπ/n)=e^(i2π/n){1-[e^(i2π/n)]^n}/[1-e^(i2π/n)]=e^(i2π/n){1-[e^(i2π)]}/[1-e^(i2π/n)]
=0
所以得证
值得注意的是这个等比数列的公比q=e^(i2π/n),
在n=1时候，q=1，所以不能用等比数列求和公式sn=a1(1-q^n)/(1-q)，，
所以这个等式是在n>=2时成立