Question

线性代数特征值问题？

这个定理应该怎样证明？求助

Answer 1

由左向右证明很显然，一个线性无关组的任何子向量组都线性无关
从右向左：设x1,x2,...,xn是A的特征向量，且属于不同特征值的向量组内部线性无关
假设这些向量线性相关，既存在不全为0的系数c1,c2,...,cn使得
c1x1 +c2x2+...+cnxn =0 ----1)
把c1,c2,...,cn中非0的系数相关的所有特征值(s1,s2,...,sk)对应的特征向量都取出，构成k个向量组
(x11, x12,...,x1a) , (x21,x22,...,x2b)...,(xk1,xk2,..,xkc)
(c11x11 +c12x12 +...+c1ax1a) +(c21x21 +c22x22 +...+c2ax2a).... =0
或者x1 + x2 +...+xk =0
其中x1=c11x11 + c12x12 +...+c1ax1a非0

或者写成矩阵形式(1,1,...,1) (x1,x2,...,xk) =0
对上式左右同乘以A得到
(s1,s2,...,sk) (x1,x2,...,xk) =0
不断乘以A得到
P(x1,x2,...,xk)=0
其中P=
1,1,...,1
s1,s2,...,sk
s1^2 ,s2^2 ,....sk^2
.....
s1^k, s2^k, ...,sk^k
P是一个范德孟行列式，是可逆矩阵
因此x1,x2,...,xk都是0，这与x1,x2,...,xk非0矛盾
所以向量组一定线性无关

Answer 2

一般来说是不成立的.
例如B = [0,1;0,0], C = [0,0;1,0], 二者的两个特征值都是0.
而A = B+C = [0,1;1,0], 特征值是1和-1.