Question

一道数学题,十万火急!!!!!!!!!大家帮帮忙!!!!!!!

将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与BC边交于点G。问如果点M为CD边上的任意一点，设AB=2a，则三角形CMG的周长是否于点M的位置有关？若有关，请把三角形CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由。

Answer 1

如参考资料图示：
因为是对折，
所以
AE=EM，∠EMG是直角
且，∠DEM=∠CMG,∠DME=∠CGM
所以，直角△MDE∽直角△GCM
设∠DEM=∠CMG=φ，
则，EM=AE=x/sinφ，DE=x/tanφ
AE+DE=x/sinφ+x/tanφ=2a，
由公式tanφ=2tan(φ/2)/[1-tan^2(φ/2)] ①
sinφ=2tan(φ/2)/[1+tan^2(φ/2)]
得，AE+DE=x/sinφ+x/tanφ=x{[1+tan^2(φ/2)]+[1-tan^2(φ/2)]}/2tan(φ/2)=x/tan(φ/2)=2a
所以tan(φ/2)=x/2a ②
将②式代入①式得，
tanφ=2x/2a/[1-(x/2a)^2]=4ax/(4a^2-x^2)
又
直角△GCM的边长与直角△MDE的边长比为
CM/DE=(2a-x)/(x/tanφ)=(2a-x)tanφ/x
所以，直角△GCM的周长与直角△MDE的周长比为(2a-x)tanφ/x
直角△MDE的周长为2a+x
所以，直角△GCM的周长为
(2a+x)(2a-x)tanφ/x=(2a+x)(2a-x)4ax/(4a^2-x^2)/x=4a

所以，三角形CMG的周长与x无关，恒等于4a.

Answer 2

无关

设ED=y
那么EM=AM=2a-y
三角形EDM是直角三角形，用勾股定理求得
（2a-y）^2=x^2+y^2
y=(4*a^2-x^2)/4a=(2a-x)*(2a+x)/4a
角EMG=角BAD=90度
得到：角CMG+角DME=90度
得到：角CMG=角DEM
同样，角D=角C，角EMD=角MGC
所以三角形EDM相似于三角形MCG
那么：MC/ED = CG/MD
CG = MC*MC/ED=4ax/(2a+x)
同样用勾股定理算MG
得到MG=（4*a^2+x^2）/(2a+x)

周长=MC+CG+GM=(2a-x)+4ax/(2a+x)+（4*a^2+x^2）/(2a+x)
化简，周长=4a
所以与M点位置无关