Question

球面坐标求三重积分

Answer 1

空间区域Ⅴ在球面r=1上的投影，必须是球面矩形，否则不能用本公式。2.确定屮1,屮2.看坐标面屮=屮0，它是一个圆锥面,顶点在原点，轴为z轴,半顶角为屮0（图也可从下面照片中找），让屮0从0变到丌，就象一把直骨伞 从z的上半轴逐渐打开，开平，再反弓(向下的一个圆维面)，最后反弓的收到z的负半轴。在这个过程中，伞面与空间区域V接触的范围[屮1，屮2]即为所求。3.确定Q1,Q2.与上同理Q=Q0是个半平面，z轴是其边，其与xy面的交是xy面的原点射线，射线的极角为Q0，Q0从0变到2丌，象一个门，门轴为z轴，转了一圈，在这一过程中门与空间区域Ⅴ接触的范围[Q1,Q2]即为所求。4.确定r=r1(Q,屮),r=r2(Q,屮).在图中画一个带箭头的原点射线穿向空间区域Ⅴ，穿入（或出）面为内（或外）面，设其方程为F(x,y,z)=0，将球变换代入此方程得到一个只含r，Q，屮的的等式，解出r=一个只含Q，屮的式子，这个式子就是r=r1(Q,屮);同理可由外面得到r=r2(Q,屮 )。

下面用你给的题讲如何使用上述公式：

接着讲将三重积分化为柱坐标系下的三次积分的方法：先使用直角坐标系下计算三重积分的先一(一重积分)后二(二重积分)公式或先二(二重积分)后一(一重积分)公式，再将其中的二重积分化为极坐标下的二次积分，这样就完成了将三重积分化为柱坐标下的三次积分了。

所以下边只需介绍这两个公式：

一、先一后二公式：如空间区域Ⅴ在xy面上的投影为D，且围住Ⅴ上（或下）面的方程为z=g(x,y)（或z=h(x,y)），则

∫∫∫(V)fdxdydz=∫∫(D)[∫(下限z=h(x,y);上限z=g(x,y))fdxdy]dz

此公式的关键口诀：含z方程上下面，无z消z围D线。

二、先二后一公式：如空间区域Ⅴ在z轴上的投影为区间[c,d]，且过z轴上z点作平行于xy面的平面与Ⅴ的交是一个平面区域D(z)，则

∫∫∫(V)fdxdydz=∫(下限c;上限d)[∫∫(D(z))fdxdy]dz

此公式的关键口诀：围D(z)的曲线方程就是围Ⅴ的曲面方程（只不过把z看成常数