Question

已知向量OA,OB不共线，向量OP=aOA+OB.求证：若a+b=1,则A,P,B三点共线。

Answer 1

设O为（0，0） A（x1，y1）B（x2，y2）侧P为（ax1+bx2，ay1+by2） AP=(ax1+bx2-x1，ay1+by2-y1）因为a+b=1 所以AP=(-bx1+bx2,-by1+by2) 同理BP=(ax1-ax2，ay1-ay2）=-a/b(ax1-ax2，ay1-ay2)=-a/bAP 所以A,P,B三点共线

Answer 2

PA=OA-OP=(1-a)OA-bOB
PB=OB-OP=(1-b)OB-aOA
三点A,B,P共线
PA=nPB
(1-a)OA-bOB=n[(1-b)OB-aOA]
-b/(1-b)=(1-a)/(-a)
(1-a)(1-b)=ab
1-a-b=0
a+b=1