Question

求｜sinxcosx｜/1+sin^4x这一函数的周期

图中这个1-2两行是因为这个函数周期为pi/2吗，但是周期不应该为pi吗，有人帮帮嘛拜托拜托，百思不得其解

Answer 1

分子｜sinxcosx｜= (1/2)｜sin2x｜, 2x 周期是 π， x 周期是 π/2
分母 1+sin^4x = 1+(1/4)(1-cos2x)^2 = 5/4 - (1/2)cos2x + (1/4)(cos2x)^2
= 11/8 - (1/2)cos2x + (1/8)cos4x, 2x 周期是 2π， x 周期是 π
分式周期是π。这里变换不是从周期性得来的吧。
I = ∫<0, π>｜sinxcosx｜dx/[1+(sinx)^4]
= ∫<0, π/2>｜sinxcosx｜dx/[1+(sinx)^4] + ∫<π/2, π>｜sinxcosx｜dx/[1+(sinx)^4]
后者令 x-π = -u， 则 x = π - u
I2 = ∫<π/2, 0>｜sinu(-cosu)｜(-du)/[1+(sinu)^4]
= ∫<0, π/2>｜sinucosu｜du/[1+(sinu)^4] (定积分与积分变量无关)
= ∫<0, π/2>｜sinxcosx｜dx/[1+(sinx)^4]

追问

那图中的那两行怎么变出来的啊

感谢解答！

Answer 2

汤家凤1800:
首先，上下限0-pai提取x的定理你能看懂，很好.
其次，被积函数是周期为pai的偶函数你能看懂吗 ？
最后，平移周期，上下限变为-pai/2～pai/2（利用周期性）
变成2倍0～pai/2（利用偶函数）
不懂为什么是周期 偶 追问
前面几个回答都没到点子上...

Answer 3

还是在周期的话，应该是先将它的函数图像画出来之后能够退出来了，然后在函数的时候可以在它的值域就是在定义域负上去之后就能够取出来了。

Answer 4

第一步区间再现，第二步周期函数周期为π

Answer 5

第一步就是做换元，令x=π-t，代入即得，第二步利用偶函数和定积分性质