Question

设随机变量XY独立同分布，且X 的分布函数为F(X)则Z=min(X,Y)的分布为？求具体证明过程

Answer 1

P(Z>=a)=P(min(X,Y)>=a)；因为独立，所以P(min(X,Y)>=a)=P(X>=a)*P(Y>=a)，又因为同分布，所以，P(Z>=a)=(1-F(a)^2；所以Z的分布为G(x)=1-(1-F(x))^2=2F(x)-F(X)^2。

因为X，Y独立同分布且X分布函数为F（x），

故Z=max{X，Y}分布函数为：

FZ（x）=P{Z≤x}=P{max{X，Y}≤x}=P{X≤x，Y≤x}=P{X≤x}P{Y≤x}

=F（x）F（x）=（F（x））2=F2（x）

性质

随机变量在不同的条件下由于偶然因素影响，可能取各种不同的值，故其具有不确定性和随机性，但这些取值落在某个范围的概率是一定的，此种变量称为随机变量。

随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。如分析测试中的测定值就是一个以概率取值的随机变量，被测定量的取值可能在某一范围内随机变化，具体取什么值在测定之前是无法确定的，但测定的结果是确定的，多次重复测定所得到的测定值具有统计规律性。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

P(Z>=a)=P(min(X,Y)>=a)；因为独立，所以P(min(X,Y)>=a)=P(X>=a)*P(Y>=a)，又因为同分布，所以，P(Z>=a)=(1-F(a)^2；所以Z的分布为G(x)=1-(1-F(x))^2=2F(x)-F(X)^2。
概率学的很渣，不知道对不对。