Question

已知函数f(x)=x^2+2/x,当x>0时,若f(x)≥f(m)恒成立,求正实数m的值

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Answer 1

解由f(x)=x^2+2/x
得f‘(x)=（x^2+2/x）
=2x-2/x²
=2（x-1/x²）
=2（x³-1）/x²
可知当x属于（1，正无穷大）时，f’（x）＞0
当x属于（0，1）时，f’（x）＜0
即函数f(x)=x^2+2/x在x=1处取得最小值
即当x＞0时，f(x)≥f(1)恒成立
又有当x>0时,若f(x)≥f(m)恒成立
即m=1

追问

由f(x)=x^2+2/x
得f‘(x)=（x^2+2/x）这步是怎么弄的，我是高一新生

追答

高一出这些题难了，从f(x)=x^2+2/x
得f‘(x)=（x^2+2/x），这是高二的求导。
由f(x)=x^2+2/x
得f‘(x)=（x^2+2/x）
=2x-2/x²
=2（x-1/x²）
=2（x³-1）/x²
可知当x属于（1，正无穷大）时，f’（x）＞0，即f（x）在x属于（1，正无穷大）时是增函数
当x属于（0，1）时，f’（x）＜0，即f（x）在当x属于（0，1）时，f（x）减函数。
即函数f(x)=x^2+2/x在x=1处取得最小值
即当x＞0时，f(x)≥f(1)恒成立
又有当x>0时,若f(x)≥f(m)恒成立
即m=1

追问

请问有没有高一的解决方法呢，我们上到函数的单调性与最值

追答

用高一的方法难以讨论函数在x属于（0，正无穷大）上的单调性。