Question

高中数学 函数的单调性与最值

已知f(x)=xlnx-ax,g(x)=-x²-2.当a=-1时，求函数f(x)在[m,m+3](m>0)上的最值。

Answer 1

a=-1，则f（x）=xlnx+x。
f（x）=xlnx+x。
f'（x）=lnx+2.
令f'（x）＞0，＜0。
得x∈（e⁻²，+∞）时，f'（x）＞0；x∈（0，e⁻²）时，f'（x）＜0.
从而f（x）在（0，e⁻²）递减，（e⁻²，+∞）递增。
①当m≥⁻²时，此时，f（x）在[m，m+3]递减。
故f（x）max=f（m）=mlnm+m，f（x）min=(m+3)ln(m+3)+m+3.
②当0＜m＜e⁻²时，f（x）在[m，e⁻²）递减，（e⁻²，m+3]递增。
从而f（x）min=f（e⁻²）=-e⁻²。
对于f（x）max：
f（m）=mlnm+m，f（m+3）=（m+3）ln（m+3)+m+3.
f（m）-f(m+3)=mln(m/(m+3)-3ln(m+3)-3.
∵m/（m+3）＜1，m+3＞3.
∴mln（m/（m+3）＜0，ln（m+3）＞0.
∴f（m）-f（m+3）＜0，则f（m）＜f（m+3）。
从而f（x）max=f（m+3）=(m+3)ln(m+3)+m+3.
综上，0＜m＜e⁻²时，f（x）max=f（m+3）=(m+3)ln(m+3)+m+3，f（x）min=f（e⁻²）=-e⁻²。
当m≥e⁻²时，f（x）max=f（m）=mlnm+m，f（x）min=(m+3)ln(m+3)+m+3.