Question

已知函数f（x）=x3-x，求函数f（x）的单调区间

用作差法解，不要用导数解。

Answer 1

f(x)=x^3-x
解：求导。
f'(x)=3x^2-1
令f'(x)=0.得x=(√3)/3,或 x=-(√3)/3。
当x在(-∞，-(√3)/3)内，f'(x)>0,f(x)是单调增函数。
当x在((√3)/3，-(√3)/3)内，f'(x)<0,f(x)是单调减函数。
当x在((√3)/3，+∞)内，f'(x)>0,f(x)是单调增函数。
祝学业进步，飞翔跟高。

Answer 2

可以这样证明：f''(x)=1/x>0当x>0时，所以f在(0,＋∞）上是上凹的（有些教材凸凹定义可能相反），所以

1）当a≠b时候， 不妨设a<b，于是：
[f(a)＋f(b)]/2 >f[(a b)/2],从而

[alna blnb]/2>[(a b)/2 ]×ln[(a b)/2]，整理得：
alna blnb>(a b)ln[(a b)/2],也就是：f(a) (a b)ln2>f(a b)-f(b）

2）当a＝b时，显而易见取等号，于是由1）2）可得：

f(a) (a b)ln2≥f(a b)-f(b)。

df(x)/x=lnx x*(1/x)=lnx 1
df(x)/x=0 解得x=1/e
当x>1/e时，f（x）>0；x<1/e，f（x）<0。所以x=1/e为极小值点
f(x)的最小值=1/e×ln（1/e）=-1/e