Question

数学第四题求解

Answer 1

下面所有lim均指n趋于正无穷大时
由limUn=a，则任取ε>0,存在N，使得任意n>N有|Un-a|<ε.（极限定义）
而由||Un|-|a||<=|Un-a| （三角不等式）
则任取ε>0,存在N，使得任意n>N有||Un|-|a||<=|Un-a|<ε.
所以lim|Un|=|a|。
数列|Un|收敛时，数列Un未必收敛的例子：Un=（-1）n（1+1/n2）
有lim|Un|=1，而Un不收敛。

追问

太给力了，你的回答完美解决了我的问题！

Answer 2

||U_n|-|a||<=|U_n-a|--->0
故|U_n|--->|a|.

设x_n等于(-1)^n,则|x_n|恒等于1,故|x_n|-->1
但是(-1)^n极限不存在.