Question

求向量空间的维数

题目如下。麻烦老师写一下解题思路与过程，万分感谢！

Answer 1

维数是2。

线性齐次方程组有3个未知量，只有一个方程，所以其基础解系有2个向量，所以V的维数是2。

方程写作3x=-2y-5z，令y=-3，z=0，得x=2，所以（2，-3，0）^T是方程的一个解。令y=0，z=-3，得x=5，所以（5，0，-3）^T是方程的另一个解。两个解线性无关，所以（2，-3，0）^T，（5，0，-3）^T是方程的基础解系，也是向量空间V的基。

详细定义：

线性空间是在考察了大量的数学对象(如几何学与物理学中的向量，代数学中的n元向量、矩阵、多项式，分析学中的函数等)的本质属性后抽象出来的数学概念，近代数学中不少的研究对象，如赋范线性空间、模等都与线性空间有着密切的关系。

它的理论与方法已经渗透到自然科学、工程技术的许多领域。哈密顿(Hamilton，W.R.)首先引进向量一词，并开创了向量理论和向量计算。

格拉斯曼(Grassmann，H.G.)最早提出多维欧几里得空间的系统理论。1844—1847年，他与柯西(Cauchy，A.-L.)分别提出了脱离一切空间直观的、成为一个纯粹数学概念的、抽象的n维空间。特普利茨(Toeplitz，O.)将线性代数的主要定理推广到任意域上的一般的线性空间中。

以上内容参考：百度百科--向量空间

Answer 2

单个向量的维数与向量空间的维数有区别！本题令 a＝1 得到单个向量三个坐标 β＝(1，2，3)，∴向量是三维的。但本题不要求一个向量的维数，而是要求向量空间的维数。求向量空间的维数就是求向量组的秩，该向量组秩 r=1，∴选择 (B)。

Answer 3

矩阵（a1，a2，a3，a4，a5）的秩为 3 ，
且 （a1，a2，a3）的秩为 3，
所以向量空间的维数是 3，｛a1，a2，a3｝是其一组基。

Answer 4

因为2a-2*a=0 3a-3*a=0 3a-1.5*2a=0 所以a 2a 3a都线性相关 则空间V的最大线性无关组应该是1 那么维数就是1 选B

Answer 5

基底的秩为一。