Question

已知二次函数图像经过原点，满足f(1+x)=f(1-x)，且方程f（x)……。

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像经过坐标原点，满足f（1+x）=f（1-x）且方程f（x）=x有两个相等的实数根。
1.求该二次函数的解析式;
2.求上述二次函数在区间[-1,2]上的最大值和最小值。

Answer 1

1、∵f(0)=0
∴c=0
∵f（1+x）=f（1-x）
∴对称轴为x=1，即-b/(2a)=1，即-b=2a
∵f（x）=x有两个相等的解

∴ax2+（b-1）x=0的△=（b-1）²=0

∴b=1,a=-1/2

∴f(x)=(-1/2)x²+x
2、f(x)=(-1/2)(x²-2x)=(-1/2)[(x-1)²-1]
在区间[-1,2]上
最大值为1/2,x=1;
最小值为-3/2,x=-1

Answer 2

Answer 3

Answer 4

f（1+x）=f（1-x） 函数f(x)的对称轴为 x=1

即 -b/2a=1 2a+b=0

f(x)=ax2+bx+c的图像经过坐标原点 f(0)=0 得 c=0

方程f（x）=x有两个相等的实数根 即ax^2+(b-1)x=0有两个相等的实数根

d德尔塔=(b-1)^2=0 得 b=1

所以a=-1/2

f(x)=-x^2/2+x

函数f(x)的对称轴为 x=1 开口向下
在x=1出取得最大值 f(1)=1/2
在x=-1处取得最小值 f(-1)=-3/2