Question

在复数范围内求方程x²-5│x│+6＝0的解？

正确答案为：±i ±2 ±3求解题过程。

Answer 1

设 x = r(cost+isint), 则 x^2 = r^2(cos2t+isin2t)
代入方程 x²-5│x│+6＝0, 得 r^2(cos2t+isin2t) - 5r + 6 = 0
比较两边虚部，得 sin2t =0, 则 t = 0, π/2, π, 3，π/2
t = 0 时, cos2t = 1, r^2 - 5r + 6 = 0, r = 2, 3， 则 x = 2, x = 3;
t = π/2 , cos2t = -1, -r^2 - 5r + 6 = 0, r^2 + 5r - 6 = 0, r = 1， 则 x = i;
t = π , cos2t = 1, r^2 - 5r + 6 = 0, r = 2, 3， 则 x = -2, -3;
t = 3π/2 , cos2t = -1, -r^2 - 5r + 6 = 0, r^2 + 5r - 6 = 0, r = 1， 则 x = -i.
故得复数解为x = ±i, x = ±2, x = ±3

Answer 2

如x为正数，则x2-5x+6=0 可得x=2或3，如x为负数则x2+5x+6=0，可得x=-2或-3，如x为复数，设x=a+bi，则x2=（a+bi）*（a+bi）=a2-b2+2abi 可知 原式为a2-b2+2abi-5√a2+b2+6=0，显然2ab! =0，a2-b2-5√a2+b2+6=0，当a=0时，b=±1，当b=0时，a无解。综上，解为±1i，±2，±3

Answer 3

解，当x为实数lx|^2-5lⅹl+6=0
则(|x|-2)(|xl-3)=0
则ⅹ=±2，±3
当x为虚数，x=ai+b，a，b为实数。a≠0
则(ai+b)^2-5lai+bl+6=0
-a^2+b^2+2abi-5√(a^2+b^2)+6=0
则2abi=0，则b=0
当a>0
故a^2+5a-6=0，则a=1，a=-6
当a<0，a=-1，a=6
则x=±ⅰ，±6
故x=±i，±2，±3，±6i

追问

正确答案没有±6i,这正是我的疑问所在。计算过程全都正确为什么±6i代入原式不正确？

Answer 4

设x=a+bi(a,b为实数)，则x²=a²－b²+2abi，
|x|=√(a²+b²)
由x²－5|x|+6=0，
a²－b²－5√(a²+b²)+6+2abi=0
故有a²－b²－5√(a²+b²)+6=0且
2ab=0。
1.当a=0时，-b²－5|b|+6=0，
此时(|b|+6)(|b|－1)=0，故|b|=1，
x=i或-i。
2.当b=0时，有a²－5|a|+6=0，此时
(|a|－2)(|a|－3)=0，故|a|=2或|a|=3，
x=2或-2，3或-3。
综上有你需要的结论。

追问

为什么没有±6i？

追答

因为设x=a+bi的时候已经假设a,b都为实数了，实数加绝对值是非负数。

追问

明白了，谢谢！

追答

不客气！