Question

在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,并且a²=b(b+c)。

在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,并且a²=b(b+c)。
求证：(1)A=2B
(2)若a=√3b,判断三角形ABC的形状。

Answer 1

(1)根据余弦定理
cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)
∵a²=b(b+c)=b²+bc
∴cosA=(c²-bc)/(2bc)
=(c-b)/(2b)
由正弦定理：
c=2RsinC,b=2RsinB
cosA=(sinC-sinB)/sinB
∴ 2sinBcosA=sinC-sinB
∵sinC=sin(A+B)=sinAcosBcosAsinB
∴2sinBcosA=sinAcosB+cosAsinB-sinB
∴sinAcosB-cosAsinB=sinB
∴sin(A-B)=sinB>0
易知0<B<A<π
∴0<A-B<π
∴A-B与B互补或相等
∴A-B≠π-B
只有A-B=B

∴A=2B
（2）
∵A=2B
∴sinA=sin2B=2sinBcosB
∵a=√3b,

∴sinA=√3sinB
∴2sinBcosB=√3sinB
∴cosB=√3/2
∴B=30º,A=60º,C=90º
∴三角形ABC是直角三角形

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第一小题的答案是什么啊？？？cosA等于什么啊？？

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第一问是证明题

写的很清楚

追问

有些符号看不清

能再发下第一小题的答案吗

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cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
∵a^2=b(b+c)=b^2+bc【代入上式】
∴cosA=(c^2-bc)/(2bc)
=(c-b)/(2b)
由正弦定理：
c=2RsinC,b=2RsinB
cosA=(sinC-sinB)/sinB
∴ 2sinBcosA=sinC-sinB
∵sinC=sin(A+B)=sinAcosBcosAsinB
∴2sinBcosA=sinAcosB+cosAsinB-sinB
∴sinAcosB-cosAsinB=sinB
∴sin(A-B)=sinB>0
易知0<B<A<π
∴0<A-B<π
∴A-B与B互补或相等
∴A-B≠π-B
只有A-B=B
∴A=2B

追问

谢谢哦

还有第二小题？？有些符号也看不清楚

追答

OK

追问

谢啦

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是度吧
∵A=2B
∴sinA=sin2B=2sinBcosB
∵a=√3b,
∴sinA=√3sinB
∴2sinBcosB=√3sinB
∴cosB=√3/2
∴B=30度,A=60度,C=90度
∴三角形ABC是直角三角形

追问

谢啦

追答

cl

追问

什么意思

？？

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没什么的随便打的，没什么问题，采纳吧

Answer 2

(1)根据余弦定理
cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)
∵a²=b(b+c)=b²+bc
∴cosA=(c²-bc)/(2bc)
=(c-b)/(2b)
由正弦定理：
c=2RsinC,b=2RsinB
cosA=(sinC-sinB)/sinB
∴ 2sinBcosA=sinC-sinB
∵sinC=sin(A+B)=sinAcosBcosAsinB
∴2sinBcosA=sinAcosB+cosAsinB-sinB
∴sinAcosB-cosAsinB=sinB
∴sin(A-B)=sinB>0
易知0<B<A<π
∴0<A-B<π
∴A-B与B互补或相等
∴A-B≠π-B
只有A-B=B

∴A=2B
（2）
∵A=2B
∴sinA=sin2B=2sinBcosB
∵a=√3b,

∴sinA=√3sinB
∴2sinBcosB=√3sinB
∴cosB=√3/2
∴B=30º,A=60º,C=90º
∴三角形ABC是直角三角形