Question

高数问题，求高手，下图，求详细步骤

Answer 1

选用柱面坐标，

积分区域Ω在xoy坐标面的投影是圆域xx+yy≤Rx，

圆xx+yy≤Rx的极坐标方程是r=Rcosθ，-0.5∏≤θ≤0.5∏，

Z从-√RR-rr变到√RR-rr，

于是，原式化为

注意到，因为“sin”^5是奇函数，所以，它在对称区间上的积分直接=0。

追问

答案是这样的，不明白为什么是2r，还有z怎么是0开始，还有为什么一开始乘4

追答

首先应该清楚这个积分区域的样子。
然后考虑奇或偶函数在对称区间上的积分化简公式。
因为zz是偶函数，
所以，【Z从-√RR-rr变到√RR-rr】=2倍【Z从0变到√RR-rr】的积分——这是2的由来。

追问

哥能不能解释详细点呢，小弟想不懂啊，区域应该是球的一部分+柱体的一部分吧

追答

因为zz是偶函数，

所以，【Z从-√RR-rr变到√RR-rr】=2倍【Z从0变到√RR-rr】的积分——这是

2r中2的由来以及z怎么是从0开始的原因。

2r中的r是极坐标面积元素里的那个r。

 

区域应该是在球内的柱内，一般书上有图，xoy面上方的草图如下，xoy面下方的图与之对称：

可以从积分区域的图象先确认一下我的解答，

然后，你给的答案图片与我的解答在z与θ两处有区别：

我的解答积分上下限是完全的、没有采用几倍计算，

你给的答案图片的积分上下限减了一半的积分区间，这样的话，

一者，是否可行？

二者，如果可行，需要用倍数体现出来，倍数应该是几？

追问

西塔（角度）的范围呢怎么是0.5pi

追答

一者，是否可行？
二者，如果可行，需要用倍数体现出来，倍数应该是几？
从而确认答案图片的正确性。

圆xx+yy≤Rx的极坐标方程是r=Rcosθ，
当θ=-0.5∏时，r=0；
当θ=0时，r=R；
当θ=0.5∏时，r=0——如此走过圆的一周。

Answer 2

用球坐标求解呀