Question

已知a.b.c为三角形ABC的三边，且关于X的方程(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x

已知a.b.c为三角形ABC的三边，且关于X的方程(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0有俩个相等的实数跟，试判断三角形ABC的形状

Answer 1

解：已知a.b.c为三角形ABC的三边，且关于X的方程(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0有俩个相等的实数跟，试判断三角形ABC的形状。

(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=x²-(a+b)x+ab+x²-(b+c)x+bc+x²-(a+c)x+ac=3x²-(a+b+b+c+c+a)x+ab+bc+ca=3x²-2(a+b+c)x+ab+bc+ca=0①，由题意知：根的判别式√(B²-4AC)=0，故：(a+b+c)²-3(ab+bc+ca)=a²+b²+c²-(ab+bc+ca)=0②，∵(a-b)²≧0；
(b-c)²≧0；(c-a)²≧0，∴a²+b²≧2ab④,b²+c²≧2bc⑤,c²+a²≧2ca⑥.将式④、⑤、⑥两边相加并同时除2得：a²+b²+c²≧ab+bc+ca取最小值，则a²+b²+c²＝ab+bc+ca(a=b=c)。原三角形为等边三角形。

Answer 2

思路：先把方程化为一般形式3x2-2（a+b+c）x+ab+bc+ac=0，然后有△=0，再利用代数式的变形，得到三个非负数的和为0，从而a，b，c的关系，最后进行判断．

步骤：
方程化为：3x2-2（a+b+c）x+ab+bc+ac=0，
∵方程两个相等实数根，
∴△=4（a+b+c）2-4×3（ab+bc+ac）=0，
∴a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，
即2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0，
∴（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，
则有a=b=c，
即△ABC为等边三角形．
故选B．