Question

求导数，y=√1+x^2,请写明过程。

求导数，y=√1+x^2，重点是写明根号的变换和符号的变换。谢谢。

Answer 1

求导数，y=√(1+x²).
解：y '=(1+x²)'/[2√(1+x²)]=2x/[2√(1+x²)]=x/√(1+x²).
注：y=√(1+x²)=(1+x²)^(1/2)；套公式：(uⁿ)'=nuⁿ⁻¹u'；在这里，u=1+x²，n=1/2。注意常量的导
数等于0.

追问

1/2*1/√(1+x^2这里没变负号吗，因为转换的时候是1/2-1=负1/2?

追答

这里不存在符号问题，你自己套一下公式就明白了。
[(1+x²)^(1/2)]'=(1/2)[(1-x²)^(1/2-1)](1+x²)'=(1/2)[(1-x²)^(-1/2)](2x)=2x/[2√(1+x²)]=x/√(1+x²).

什么地方要变号？你看到哪个地方需要变号？

追问

x^1/2=√x, x^-1/2=√x. 化解根号时这个1/2一正一负，没有影响？

追答

x^(1/2)=√x；x^(-1/2)=1/[x^(1/2)]=1/√x；x^(-1/2)≠√x；
你的指数概念好糊涂！
x⁻ⁿ=1/xⁿ.
[(1+x²)^(1/2)]'=(1/2)[(1+x²)^(1/2-1)](1+x²)'=(1/2)[(1+x²)^(-1/2)](2x)=2x/[2√(1+x²)]=x/√(1+x²).

上面倒数第三行我把1+x²有两处写成1-x²了，请更正。

Answer 2

y'=1/2*1/√(1+x^2)*(1+x^2)'
=1/2*1/√(1+x^2)*2x
=x/√(1+x^2)

追问

1/2*1/√(1+x^2这里没变负号吗，因为转换的时候是1/2-1=负1/2?