Question

如图,已知:在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于D，且DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F。求证：AD是EF的垂直平分

如图,已知:在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于D，且DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F。求证：AD是EF的垂直平分线

Answer 1

证明：将AD与EF的交点设为O
∵AD平分∠BAC
∴∠1＝∠2
∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴∠AED＝∠AFD＝90
∵AD＝AD
∴△AED≌△AFD （HL）
∴AE＝AF
∵AO＝AO
∴△AOE≌△AOF （SAS）
∴EO＝FO，∠AOE＝∠AOF
∵∠AOE+∠AOF＝180
∴∠AOE＝∠AOF＝90
∴AD是EF的垂直平分线

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Answer 2

延长CM交AB延长线于F，取BF中点E，联接ME
∵AM⊥CF ∠CAM=∠FAM
∴∠ACF=∠F
∴AC=AF
∴CM=FM
∵BE=EF
∴EM∥BC
∴AD/AM=AB/AE
∵AD=AB
∴AM=AE
∵AC=AF=AE+EF AB=AE-BE=AE-EF
∴AB+AC=2AE=2AD
∴AD=1/2(AB+AC)