Question

已知数列an满足an=（n+2）/3^n，求sn

Answer 1

sn=3/3^1+4/3^2+5/3^3+6/3^4+……+（n+2）/3^n
1/3*sn=3/3^2+4/3^3+5/3^4+6/3^5+……+（n+2）/3^(n+1)
使用错位相减可得2/3*sn=3/3^1+1/3^2+1/3^3+1/3^4+……+1/3^n-（n+2）/3^(n+1)
sn=3/2(7/6-1/2*1/3^n-（n+2）/3^(n+1))

追问

再化简一下

追答

sn=5－(5＋n/2)×3^(﹣n)

Answer 2

∵an＝(n＋2)/3^n＝n×3^(﹣n)＋2×3^(﹣n)
∴Sn＝2×[3^(﹣1)＋3^(﹣2)＋···＋3^(﹣n)]＋[1×3^(﹣1)＋＋2×3^(﹣2)＋···＋n×3^(﹣n)]
设 A＝1×3^(﹣1)＋2×3^(﹣2)＋···＋n×3^(﹣n)
3^(﹣1)A＝ 1×3^(﹣2)＋···＋(n－1)×3^(﹣n)＋···＋n×3^(﹣n－1)
∴2A/3＝1×3^(﹣1)＋2×3^(﹣2)＋···＋n×3^(﹣n)－n×3^(﹣n－1)＝2×[1－3^(﹣n)]－n×3^(﹣n－1)
∴A＝3－3×3^(﹣n)－3/2 n×3^(﹣n－1)
∴Sn＝2×[1－3^(﹣n)]＋3－3×3^(﹣n)－3/2 n×3^(﹣n－1)
＝5－(5＋n/2)×3^(﹣n)