Question

判断并证明函数f(x)=loga(1-x/1+x)(a>0,a≠1)的单调性

Answer 1

解：（1）0<a<1时，f(x)在定义域内单调递增；（2）a>1时，单调递减。
定义域：∵（1-x)/(1+x)>0∴-1<x<1
∵(1-x)/(1+x)=2/(1+x)-1
∴当-1<x1<x2<1时，（1-x1)/(1+x1)-(1-x2)/(1+x2)=2(x2-x1)/(1+x1)(1+x2)>0
∴(1-x1)/(1+x1)>(1-x2)/(1+x2)>0
∴[(1-x1)/(1+x1)]/(1-x2)/(1+x2)]>1
∴f(x1)-f(x2)=loga{[(1-x1)/(1+x1)]/[(1-x2)/(1+x2)]}
(1)0<a<1时，f(x1)-f(x2)<loga 1=0∴f(x1)<f(x2)，∴单调递增
（2）a>1时，f（x1)-f(x2)>loga 1=0∴f(x1)>f(x2)∴单调递减