Question

周期函数在一个周期内积分为什么为0 ？

第（2）个 还有 若g(x)是以T为周期的函数，则g(x)=g(x+T)得：∫[0→x] f(t) dt=∫[0→x+T] f(t) dt这是为什么啊？

Answer 1

(2) 设F(x) = ∫{0,x} f(t)dt.
必要性: 若F(x)以T为周期, 则F(x+T) = F(x).
特别的, F(T) = F(0) = 0, 即∫{0,T} f(t)dt = 0.

充分性: 若∫{0,T} f(t)dt = 0.
由f(x)以T为周期, 根据(1)的结论有∫{x,x+T} f(t)dt = ∫{0,T} f(t)dt = 0对任意x成立.
于是F(x+T)-F(x) = ∫{0,x+T} f(t)dt - ∫{0,x} f(t)dt = ∫{x,x+T} f(t)dt = 0.
即F(x+T) = F(x)对任意x成立, 也即F(x)以T为周期.

如果没猜错的话, 下面写的g(x)就是我所设的F(x)?
那么g(x)= g(x+T)就是∫{0,x} f(t)dt = ∫{0,x+T} f(t)dt的意思吧.

追问

恩，说的很明白
还有一个疑问，那sinx的绝对值是不是周期函数啊？

追答

|sin(x)|是周期函数, 可以验证最小正周期为π.
对T = kπ (k为正整数), 结论(1)对|sin(x)|都是成立的.
不清楚你红笔写的"不算"是什么意思?