Question

定积分几何应用

Answer 1

解：
     方程联立得到两台曲线的4个交点坐标为：
            x = ±ab/√(a²+b²)；y = ±ab/√(a²+b²)；
      围成的图形为关于x，y轴对称、关于原点中心对称的图形，只研究椭圆在y=0--ab/√(a²+b²)
      区间与 y=x所围成的区域面积(第一象限)即可，它为总面积的1/8;
      对应每一个y值，该区域以dy为高度的面积微元, 左侧以y=x为界，x=y；右侧以椭圆周为界，
          x = a√(1- y²/b²)，因此有：
          ds = [a√(1- y²/b²) –y]*dy
          S = 8*[0,ab/√(a²+b²)]∫[a√(1- y²/b²) –y]*dy
      设半短轴为b，作变换 y = bsint，则dy=bcost*dt；t 的积分区间为 [0，θ]，
      其中 bsinθ=ab/√(a²+b²) ==> θ = arcsin(a/√(a²+b²))，原式变为
      S   = 8*[0, θ]∫[a*cost –b*sint]*b*cost*dt
           = 8*[0, θ]∫[ab*cos²t dt - 8*[0, θ]∫b²*sint*d(dsint)
           =4*[0, θ]∫[ab*(1+cos2t) dt - 4 (b*sint)²|[0, θ]
           =4ab*t|[0, θ] + 2sin2t|[0, θ] - 4 (b*sint)²|[0, θ]
           =4ab* arcsin(a/√(a²+b²)) + 4absinθ*cosθ- 4 (b*sinθ)²
           =4ab* arcsin(a/√(a²+b²)) + 4ab*[ab/(a²+b²)] - 4 [a²b²/(a²+b²)]
           = 4ab* arcsin(a/√(a²+b²))
     两椭圆围成的区域的面积为4ab* arcsin(a/√(a²+b²))

Answer 2

解：联立方程，求其交点。
交点共四个，分别为：第一象限(ab/√（a²+b²），ab/√（a²+b²）），第四象限(ab/√（a²+b²），-ab/√（a²+b²）），第三象限(-ab/√（a²+b²），ab/√（a²+b²）），第四象限(-ab/√（a²+b²），-ab/√（a²+b²））。
以x轴为积分变量，显然所求面积分为三个积分区间：
1、从x1=-b到x2=-ab/√（a²+b²），积分表达式（被积函数）为：f1(x)=y=2a√（1-x²/b²）。
2、从x2=-ab/√（a²+b²）到x3=ab/√（a²+b²），积分表达式（被积函数）为：f2(x)=y=2b√（1-x²/a²）。
3、从x3=ab/√（a²+b²）到x4=b，积分表达式（被积函数）为：f3(x)=y=2a√（1-x²/b²）。
运用定积分公式：S=∫1+∫2+∫3=∫（x1,x2)f1(x)dx+∫(x2,x3)f2(x)dx+∫(x3,x4)f3(x)dx
即可求出公共部分的面积。由于计算过程在这里书写困难，剩余的就是积分计算的问题，应该不是什么难题了。

Answer 3

0.4142 (a^2 - 2 b^2 ) ^(1/2)
atanh(-------------------------------------) a b^2
a
16 --------------------------------------------------
(a ^2 - 2 b^2 )^(1/2)