Question

一个定积分问题具体看我的图？

问一下我哪里开始错了。哦，正确答案我发现是用另一个把2x-x^2变形成1-(x-1)^2的方法算出来的了。

Answer 1

在①中，
2∫(2-t^2)^(3/2)×t^2dt≠-2∫(2-t^2)^(3/2)d(2-t^2)

Answer 2

2π∫(0->1) [√(2x-x^2) -x ](2-x) dx
=2π∫(0->1) √(2x-x^2) .(2-x) dx - 2π∫(0->1) x(2-x) dx
=(2/3)π +(1/2)π^2 -(4/3)π
=(1/2)π^2 -(2/3)π
//
2x-x^2 = 1-(x-1)^2
let
x-1=sinu
dx=cosu du
x=0, u=-π/2
x=1, u=0
//
2π∫(0->1) √(2x-x^2) .(2-x) dx
=π∫(0->1) √(2x-x^2) .(2-2x) dx +2π∫(0->1) √(2x-x^2) dx
=π∫(0->1) √(2x-x^2) d(2x-x^2) +2π∫(0->1) √(2x-x^2) dx
=(2/3)π [(2x-x^2)^(3/2)]| (0->1) + 2π∫(-π/2->0) (cosu)^2 du
=(2/3)π +π∫(-π/2->0) (1+cos2u) du
=(2/3)π +π[u+(1/2)sin2u]|(-π/2->0)
=(2/3)π +(1/2)π^2
//
2π∫(0->1) x(2-x) dx
=2π∫(0->1) (2x-x^2) dx
=2π[ x^2 -(1/3)x^3]|(0->1)
=(4/3)π