Question

已知定义域为R的函数f(x)=(-2^x+a)/(2^(x+1)+2)是奇函数。

已知定义域为R的函数f(x)=(-2^x+a)/(2^(x+1)+2)是奇函数。（1）求a的值（2）证明：函数f(x)在R上时减函数（3）若对任意的t=R ,不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0恒成立，求k的取值范围

Answer 1

：（Ⅰ）因为 f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即(b-1)/(a+2)=0 ==>b=1 f(x)=(1-2^x)/(a+2^(x+1)) 又由f（1）= -f（-1）知a=2 （Ⅱ）解由（Ⅰ）知f(x)=(1-2^x)/(2+2^(x+1))=-1/2+1/(2^x+1) ，易知f(x) 在 正负无穷上为减函数。又因 f(x)是奇函数，从而不等式：f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0 等价于f(t^2-2t)<-f(2t^2-k)=f(k-2t^2) ，因f(x) 为减函数，由上式推得：t^2-2t>k-2t^2 ．即对一切t∈R 有：3t^2-2t-k>0 ，从而判别式=4+12k<0 ==>k<-1/3

Answer 2

由于该函数是奇函数，所以f(0)=0 ,代入，得a=1