Question

为什么对称阵一定有N 个线性无关的特征向量？

？？？？？？

Answer 1

看了上面的帖子 甚至还有n个线形无关的特征值的论述. 我不得不说说我的观点。来源于课本。应该说每个矩阵都有n个特征值 因为特征方程都是n阶多项式。不能因为有的特征值有重数，而否认它的存在。不可能因为双胞胎一样，而忽略掉。 问题在于矩阵的几何重数等于代数重数。也就是每个特征值的重数与其基础解系的解向量的个数相等。实对称矩阵能够对角化的原因是其特征值的几何重数等于其代数重数，也就是每个特征值的重数与其对应的基础解系的解向量的个数相等。至于为什么相等，这个教材上也省略了。说是太高深。补充，特征值的几何重数小于代数重数。这个证明也好像比较高深。教材也省略。所以，如果每个特征值为1重的话，则其几何重数为一，也就是与其次特征值对应的基础解系的解向量的个数为一。所以，n个互不相等的特征值，则对应n个互不相关的特征向量。这是个可对角化的必要非充分条件。但有的矩阵有相同的特征值，比如说某个特征值代数重数为2，那么它所对应的几何重数或者为一，或者为二，（特征值的几何重数小于代数重数），也就是说2个特征值都只对应一个特征向量。那么n个特征值必然不能有n个特征相量线性无关。从而不能保证对角化。 而实对称矩阵恰好没有这种尴尬的局面产生。至于证明，建议考数学研究生或者自学。

Answer 2

你的问题是不是A实对称为什么一定可以相似对角化？ 这个问题要严格证明比较麻烦。我可以给你大概解释一下。因为实对称矩阵沿对角线对称，因此你对它进行行变换的同时对它进行相应的列变换，及左乘一系列初等矩阵，同时右乘相应的一系列初等矩阵后，一定可以把它化成只有对角上有元素的矩阵，这个时候你就会发现这个对应的关系就是你左乘的初等矩阵和右乘的初等矩阵之间有可逆的关系，按照相似的定义及相似于对角矩阵。 [ ]

Answer 3

因为实对称矩阵必可对角化,而有N 个线性无关的特征向量是矩阵对角化的充要条件!

Answer 4

楼上更正的对，应该是“实”对称矩阵才有n个线性无关的特征向量。必须是实数范围。