Question

求下图定积分，谢谢

Answer 1

利用两次三角代换可以求出结果。

Answer 2

首先分母有理化化简，然后，第二部分的积分不用直接积分，是四分之一圆的面积可以直接得到结果。

Answer 3

∫<0，a>dx/[x+√(a²-x²)]【令x=asinu，则dx=acosudu；x=0时u=0；x=a时u=π/2】
=∫<0，π/2>(acosudu)/[asinu+√(a²-a²sin²u)]
=∫<0，π/2>(cosudu)/(sinu+cosu)；
【再令u=(π/2)-t，则du=-dt；u=0时t=π/2；u=π/2时t=0；】
=∫<π/2，0>(-sintdt)/(cost+sint)
=∫<0，π/2>(sintdt)/(sint+cost) 【下面把字母t换成字母u】
=∫<0，π/2>(sinudu)/(sinu+cosu);
【由上可见：∫<0，π/2>(cosudu)/(sinu+cosu)=∫<0，π/2>(sinudu)/(sinu+cosu) 】
∴∫<0，π/2>(cosudu)/(sinu+cosu)+∫<0，π/2>(sinudu)/(sinu+cosu)
=∫<0，π/2>(cosu+sinu)du/(sinu+cosu)=∫<0，π/2>du=u∣<0，π/2>=π/2；
∴原式=∫<0，π/2>(cosudu)/(sinu+cosu)=(1/2)(π/2)=π/4；

Answer 4

分享解法如下。(1)，设x=asinθ。∴原式=∫(0,π/2)cosθdθ/(sinθ+cosθ)①。(2)，设x=asinθ。∴原式=∫(0,π/2)sinθdθ/(sinθ+cosθ)②。
由①+②可得，2×原式=∫(0,π/2)dθ=π/2。∴原式=π/4。
供参考。