Question

设随机变量X服从参数为3的指数分布,试求:

设随机变量X服从参数为3的指数分布,试求:
1.Y=e^x的概率密度
2.P(1<=Y=<2)

我求出fY(y)=(3/y)*e^(-lny)
求详解

Answer 1

(1).f(x)=3e^(-3x),x>0;f(x)=0,其他.
y<=1时，FY(y)=0,
y>1时,FY(y)=P(Y<=y)
=P(e^X<=y)
=P(X<=lny)
=∫[0,lny]3e^(-3x)dx
=1-e^(-3lny).
fY(y)=dFY(y)/dy=(3/y)e^(-3lny)=3/y^4,y>1时
fY(y)=0,其他.

(2).P(1<=Y<=2)=FY(2)-FY(1)=
=[1-e^(-3ln2)]-[1-e^(-3ln1)]
=1-e^(-3ln2)
7/8.
或P(1<=Y<=2)=∫[1,2]3/y^4dy=7/8.

Answer 2

(1).f(x)=3e^(-3x),x>0;f(x)=0,其他.
y<=1时，FY(y)=0,
y>1时,FY(y)=P(Y<=y)
=P(e^X<=y)
=P(X<=lny)
=∫[0,lny]3e^(-3x)dx
=1-e^(-3lny).
fY(y)=dFY(y)/dy=(3/y)e^(-3lny)=3/y^4,y>1时
fY(y)=0,其他.
(2).P(1<=Y<=2)=FY(2)-FY(1)=
=[1-e^(-3ln2)]-[1-e^(-3ln1)]
=1-e^(-3ln2)
7/8.
或P(1<=Y<=2)=∫[1,2]3/y^4dy=7/8.