Question

高等数学，拉格朗日证明题？

如图！

Answer 1

构造函数g(x)=e^(3x)*f(x)
g'(x)=3e^(3x)*f(x)+e^(3x)*f'(x)=e^(3x)*(3f(x)+f'(x))
∵f(a)=f(b)=0
∴g(a)=g(b)=0
根据罗尔中值定理
至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 g'(ξ)=0。
至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 g'(ξ)=e^(3ξ)*(3f(ξ)+f'(ξ))=0
至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 3f(ξ)+f'(ξ)=0

追问

请问下这步这么来的？

追答

如果没理解错，这是函数绕y轴旋转，之后求体的面积。
2Πx是周长，ydx是一小块面积，我记得书上有说可以把函数的面积当作很多小长方形组成，试想一下，把一个小长方形旋转之后，再剪开，在纸上画一个小圆环，剪开，长就是2Πx，宽是dx,高是y.积分就行了。

追问

还是不怎么理解这个

一会剪一会画？想不出来

追答

将a到b的数轴等分成n分，每份宽△x
则函数绕y轴旋转，每一份的体积为一个圆环柱，
该圆环柱的底面圆的周长为2πx，所以底面面积约为2πx*△x

Answer 2

设g(x)=xf(x),g(a)=af(a)=bf(b)=0,g(x）在[a,b]连续，(a,b)可导
g(x)在[a,b]上满足罗尔定理
存在c属于(a,b)使得g'(c)=0,即 cf'(c)+f(c)=0