Question

求二重积分

Answer 1

一、利用直角坐标计算二重积分
我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题.

讨论中,我们假定 ；

假定积分区域可用不等式 表示,

其中, 在上连续.


据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积.


在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为

一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶蚂缺柱体所得截面的面积为


利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为


从而有


(1)
上述积分叫做先对Y,后对X的二液亮次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分.

这个先对, 后对的二次积分也常记作


在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计闹物宽算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的

Answer 2

积分过袜改程如旅念图告镇判所示